Деза Е. “Фигурные числа”

Аннотация

Знаете, чем числа Трибоначчи отличаются от чисел Фибоначчи? А что такое теорема Гаусса о трех треугольных числах? А гнездовые числа — это что? Все это и многое другое вы узнаете из этой книги, посвященной фигурным числам — разделу элементарной математики, которым занимаются с  античности и до наших дней.

Деза, Е. Фигурные числа / Е. Деза, М. Деза ; пер. с англ. С. А. Кулешова. – Москва : Изд-во МЦНМО, 2015. – 349 с.
Шифр: ББК   22.13 Д 26
Местонахождение-к/х

Предисловие

Фигурные числа, так же как и большинство классов специальных чисел, имеют долгую и богатую историю. Это понятие было введено в пифагорейской школе (VI век до н. э.) в результате попытки связать геометрию с арифметикой. Пифагорейцы, следуя своему кредо «всё является числом», представляли любое положительное целое число в виде набора точек на плоскости.

Фигурное число — это число, которое можно представить правильной дискретной геометрической моделью из точек. Это может бьггь, скажем, многоугольное, многогранное или политопное число, если эти точки образуют правильный многоугольник, правильный многогранник или правильный политоп соответственно. Фигурные числа могут также образовывать и другие формы, такие как центрированные многоугольники, 1-образные, трёхмерные (и многомерные) тела и т. д.

В частности, многоугольные числа обобщают числа, которые можно представить в виде треугольника (треугольные числа) или квадрата (квадратные числа), вплоть до т-угольных для любого целого числа т > 3.

Помимо классических многоугольных чисел, на плоскости можно построить центрированные многоугольные числа. Каждое центрированное многоугольное число образовано центральной точкой, окруженной многоугольными слоями с постоянным числом сторон. Каждая из сторон многоугольного слоя содержит на одну точку больше, чем любая строка предыдущего слоя.

В главе 1 мы рассмотрим эти и другие плоские фигурные числа со множеством свойств, взаимосвязей и взаимозависимостей.

Располагая точки в определённом порядке не на плоскости, а в пространстве, мы получим пространственные фигурные числа. Наиболее известные из них — это пирамидальные числа, соответствующие треугольным, четырёхугольным и вообще произвольным т-угольным пирамидам. Они задаются как суммы соответствующих многоугольных чисел. Если физически складывать шарики таким образом, то устойчивыми будут только треугольные и четырёхугольные пирамиды, и древние греки рассматривали только соответствующие два класса пространственных фигурных чисел. Кубические числа соответствуют кубам, по¬строенным из шаров. Октаэдральные, додекаэдральные и икосаэдральные числа соответствуют трём оставшимся Платоновым телам.

Часто рассматривают центрированные пространственные фигурные числа. Они строятся так же, как и центрированные многоугольные числа. Рассматриваются также и числа, которые могут быть получены путём сложения или вычитания пирамидальных чисел меньшего размера. Это соответствует усечению соответствующего многогранника или помещению пирамиды на грань, как при построении звёздчатого многогранника.

Эти и другие классы пространственных фигурных чисел рассматриваются в главе 2.

Аналогично можно построить многомерные фигурные числа, т. е. фигурные числа высшей размерности к. В размерности 4 наиболее известны пентатонные числа, являющиеся четырёхмерным аналогом треугольных и тетраэдральных чисел и соответствующие четырёхмерным симплексам, и биквадратные числа, которые служат четырёхмерным аналогом квадратных и кубических чисел…